导数与函数的零点问题

高考导数的命题，通常以指对幂函数为背景，以导数函数为工具，探讨函数零点的存在位置与定性个数以及零点的左右偏移问题。

零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.

题型一 判断零点个数

1. 设函数f(x)＝ln x＋x(m)，m∈R，讨论函数g(x)＝f′(x)－3(x) 的零点个数．

解题思路：g(x)的零点个数问题求解，令g(x)=0转化为参数m与新函数φ(x)函数图像交点个数问题，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出φ(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．

解题观摩：由题设得g(x)＝f′(x)－3(x)＝x(1)－x2(m)－3(x)(x>0)，

令g(x)＝0，得m＝－3(1)x3＋x(x>0)．

设φ(x)＝－3(1)x3＋x(x>0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，

当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

所以x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，

因此x＝1也是φ(x)的最大值点．

所以φ(x)的最大值为φ(1)＝3(2).

作出φ(x)＝－3(1)x3＋x(x>0)的大致图象如图，

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象，

可知①当m>3(2)时，函数g(x)无零点；

②当m＝3(2)时，函数g(x)有且只有一个零点；

③当0<m<3(2)时，函数g(x)有两个零点；

④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．

综上所述，当m>3(2)时，函数g(x)无零点．

当m＝3(2)或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0<m<3(2)时，函数g(x)有两个零点．

题型二 函数零点的证明

例2设函数f(x)＝x3－4(3)x＋c，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

解题思路：利用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数及零点所在区间。

证明：由f(x)＝x3－4(3)x＋c，f′(x)＝3x2－4(3).

令f′(x)＝0，解得x＝－2(1)或x＝2(1).

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	2(1)	－2(1)	2(1)	2(1)	，＋∞(1)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	增	c＋4(1)	减	c－4(1)	增

 

因为f(1)＝f（－2(1)）＝c＋4(1)，所以当c<－4(1)时，f(x)只有大于1的零点．

因为f(－1)＝f（2(1)）＝c－4(1)，所以当c>4(1)时，f(x)只有小于－1的零点．由题设可知－4(1)≤c≤4(1).

当c=－4(1)时，f(x)只有两个零点－2(1)和1；

当c=4(1)时，f(x)只有两个零点－1和2(1)；

当－4(1)<c<4(1)时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1∈（-1，－2(1)），

x2∈（－2(1)，2(1)），x3∈(2(1),1).

综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

题型三 函数零点偏移问题

例3  已知函数

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，且，证明：.

解题思路：（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；

1. ，为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.

解题观摩（1）函数的定义域为，.

当时，，在上是减函数，所以在上无极值；

当时，若，，在上是减函数.

当，，在上是增函数，

故当时，在上的极小值为，

无极大值.

（2）当时，，

由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，

又，为函数零点，所以，要证，只需证.

∵ ，又

∵，∴，

令，则，

∴在上是增函数，∴，∴，

∴，即得证.

 

 

 

 

与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．　

 

题型四　根据零点个数确定参数

 

例4已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)．若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在，e(1)上有两个零点，求实数m的取值范围．

解题思路：通过对函数进行求导，判断函数的单调性确定最值、极值，再根据题意列出含参数的不等关系，最终求出参数范围。

解：g(x)＝f(x)－ax＋m＝2ln x－x2＋m，

则g′(x)＝x(2)－2x＝x(－2(x＋1)(x－1))，

因为x∈，e(1)，所以由g′(x)＝0，得x＝1.

当e(1)≤x<1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，

当1<x≤e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

故当x＝1时，函数g(x)取得极大值g(1)＝m－1，

又g(e(1))＝m－2－e2(1)，

g(e)＝m＋2－e2，

所以g(x)＝f(x)－ax＋m在，e(1)上有两个零点需满足条件≤0，(1)解得1<m≤2＋e2(1).

故实数m的取值范围是e2(1).

1. 函数f(x)＝-x＋xln x．若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

解题思路：对函数求导确定函数单调性，画出函数的图象，数形结合求出参数范围。

解：y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点．易知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，

由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①

当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；

当x>e时，f(x)>0.

当x→0＋时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.

由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②

由①②可得－2<m<－1.

所以m的取值范围是(－2，－1)．