“数学教育的任务是什么？”作为一名数学教育工作者，在过去的十余年时间里我对这个问题竟没有认真地思考过。在最初工作的几年时间里，我肤浅地认为教数学就是教会学生正确解题，就是提高解题的能力，当时的肤浅真令人惭愧。有幸在过去的两年里参加了由张丽芝老师发起的“弗赖登塔尔共读小组”，结识了一群有智慧、有追求的朋友，于是，跟随着他们，我激动又紧张地行走在探索数学教育真谛的道路上，懵懵懂懂地有了下面一些浅显的思考

一、从数学表达的再创造看数学的发展

语言是交流的工具，数学语言是数学思维发展的产物和载体，所以数学的发展呈现出来的一个显性标记就是数学语言符号的变迁。现代数学在逐渐演变的过程中，势必会经历曲折的发展过程，会有新概念、新定理的产生，随之当然有新词汇的描述。

现代数学的特点是“数学表达的再创造和形式化的活动”，我想这也是弗赖登塔尔之所以选择从数学语言表达的变化入手来讲述数学的发展的原因。弗氏指出 “语言是一种弹性工具。在日常语言表达数学事实时，必须改造它，使之适应数学的需要。”这令人想到了某些数学概念中比较拗口的表述，比如对函数连续性的表述“对每个……，存在一个……，使得对所有的……，每当……，则……”弗老幽默地称之为“祈祷式的文字”；再如描述垂线的性质时，应表述为“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。”为何要多出“有且”两字，从日常语言的角度考虑完全没必要，但在数学上却是必须的，因为“有”揭示了“存在性”而“只有”才体现了数量的“唯一性”，这是数学语言精炼与严谨的统一。

“数学语言的完善化是一个连续的过程，它的最终阶段是如此地准确，以至于可以用计算机处理。”由此看出数学语言的精确性要求之高，有时容不得一字之差。在数学中有“方位角，方向角和象限角”这几个容易混淆的概念，就连某些教科书和一些工具书上的说法也有出入，为此浦东教发院的黄家礼教研员曾专门撰文对此作了分析查证，他在文中写到：概念作为一种思维形式，它反映的是概念所述对象的本质属性，应有确定的内涵，也有其确定的外延。它是构成判断、计算、推理、论证的“基本元件”，是思维的细胞。它与其他概念之间应是彼此互相区别的，界限分明的，不容混淆。一个“不容”，足以说明数学语言的精确性要求。

文中提到“现代数学有一种强烈地组织起来的倾向”，那就是对“昨日”的内容重新组织架构，创造建立新的体系，使之成为“今日”的数学，而数学表达的再创造只是其中之一，不管怎样，数学是在不断变化、发展的，是活的有生命力的，需要我们用发展的眼光去看待、研究。

二、在“矛盾”中求平衡，用“再创造”求发展

辩证主义告诉我们事物是在对立统一的矛盾之中变化发展的。在本书的第三章中，作者借用“传统与现代”“继承与发展”“屈从与挑战”“精英与大众”“被动与主动”“教师与学生”等对立之词，貌似在传达这样一个辩证的问题：事物的矛盾性总是不可避免的，我们要思考的是如何处理好这些矛盾的两方面？

说“教师与学生”是矛盾的双方似乎欠妥，但似乎现实又恰恰说明了这一“矛盾”的存在，比如传统的观念里，教师作为传道之人似乎就意味着是权威，知识是神圣不可侵犯的，学生应该虔诚地全盘接受。“我们的全部任务就是做个好的继承人”，所以学生的任务就是做个好的倾听者和优秀的模仿者，解出一道道相似的题目，这样就能获得高分，这就是聪明的优秀的学生。在这样的观念背景下，学习者对于学习也会产生这样的定位，“将学习过程理解为只是一个信息流，学校是传递正确信息的通道”，而对于好教师的评价标准是“会将问题讲得清楚，易听懂，并会举一反三……”显然，这种观念是落后的。在我国，教改施行了n年后，这种教师负责讲，学生义务听的现象被定义为“一言堂”模式 ，成为了“过街老鼠”，尤其是在公开课中，绝对是上不了台面，要被禁止的。于是乎，一时间各种“探究、实验、操作”遍地开花，热闹非凡。无论什么课，似乎有了学生的某些“活动”才算是“优质课”，有的甚至为“活动而活动”，一堂课上学生的探讨、活动被不断充实，而老师的讲授时间被一再压缩，或许这样的言辞略有夸张，但至少在一些公开场合，此等现象还是不少的。

如此，教师与学生在课堂中的地位是否非要“厚此薄彼”，学习方式的改革一定是“非黑即白”？我觉得不是，就像面对一些传统的东西，完全膜拜或是断然遗弃，都是不可取的，我们要用再创造的观点去取得融合与平衡，获得继承和发展。

至于怎么做，实在是个大难题，也只有在实践中不断摸索和尝试。这让我想到了前段时间我和张丽芝、潘清等老师参加的王洁博士的一个课例研究的研修活动，在“做数学”的主题下进行的单元整体教学设计的尝试。王博士的想法是不受时间限制，放手让学生充分操作、探究得出应有结论，实践下来，学生的活动是自由的，思维是开放的，但是没有完成相应的教学内容；之后我尝试进行改进，就是在教师指引下的探究操作，虽然学生的自由度受限了，但在规定时间内能完成预定的教学任务。当然这两节课要达成的目标侧重点不同，所以从过程到结果自然会有不同，但新课程提倡的以学生为主体的理念不是简单地弱化教师教材在学习中的作用，而是对教师的“导”提出了更高的要求。教师要精准把握教材和学科知识，准确预估学生认知的起点和障碍点，将教学对象、行为等进行有效整合与再创造，才能使教学不断出彩、不断发展。

三、再创造地看待教材和教法

1、关于教材的编写

对于教材的印象，弗氏这样表述：在名为“新数学”的一系列教科书中，有好的也有坏的。坏的那些暴露出严重错误，使人容易警惕”而好的教科书当然应该是没有错误的，并且教材内容的选择、顺序的安排也是经过作者深思熟虑地分析过的，但这是否就是真正的好书呢？并非如此!弗氏认为“在写教材之前也许他也进行了思想实验，可是在写成教科书时，却丝毫不留痕迹”。也就是说，教科书所呈现的仅仅是“是什么”的静止的结论，没法展示出“为什么”的思想动态过程，即无法体现出作者在编写过程中所进行的深刻思想实验。“数学家是习惯于客观如实反映某个对象的定义、定理、证明的，但就是没有给出思想过程”，有关教学法方面的考虑，已经被作者省略了，“数学家再次胜过了教育家”。这些由数学家事先组合好、分配好的知识由于抛弃了可以讨论的东西，就成了现成的、教条的数学。题材分析被抛弃了，过程没有在学生眼前发生，“思想像降落伞一样从天上掉下来”，学生会感到莫名其妙，弗氏将此比喻为“只是一堆无意义的孤立的砖头”，我是否可以理解为“笨重又无生机”，如此，学生怎会有学习的兴趣？

 关于教材，弗氏还认为“书是苏格拉底方法的主要敌人”，为什么这样说呢？“这也许是印刷术造成的恶果，因为必须是确定的东西才能够印刷出版”，换言之，出版前编书的作者势必会谨慎地考虑内容的编排，以作者所认为的最好结果，成为纸上的铅字，而这样一来似乎也成了难以“撼动的权威”，可能会迫使教师不结合实际而照本宣科。

2、关于教材的使用

如前所述，书是印刷出来的静态物品，而在教学中教师面对的是活生生的人，所以弗氏“相信许多教师都是按照比教科书更合理的方法在教”。既然不能照本宣科，那是否意味着“应当写一本与他教课过程同样方式的书呢，但谁敢这样做？”也不可能那样做！课堂是一个动态的生成的过程，即使同一个教师上同一个内容，因为学习者的不同，所产生的互动过程是不一样的，那么呈现出的效果也会有所不同。所以一个教师不可能完全学习另一个教师怎么教的过程，就算是“出版他的实验过程，也常常不是他教学过程的真实写照”。对于那些不太自信而依赖教科书的老师往往就会照本宣读，而“一旦教师习惯了这种做法，他甚至不再操心那些课文内容，因为考试中唯一需要的就是解决问题”，言语中似乎透出些讽刺和无奈的意味，所以弗氏会认为“当代的许多教学却还是苏格拉底以前的”。想想我们现在的教育，虽然教改一直在进行，各地也出现过不少教改的先行者和排头兵，但最后还不是以一场“终极”考试的分数论英雄吗？！

完全依赖教科书照本宣科是必定不行的，偷师另一个教师也并非良策，那到底该如何教？弗氏指出，一方面可以阅读像波利亚那样能呈现“思想实验方法”的优秀书籍，因为它“阐述并解释了教学理论方法论的研究原理，比那些无原理的教学理论方法论文献要优良的得多”；另一方面，应该学习苏格拉底的方法，它是“教学基本原则之一”，其体现的“再创造”的理念价值是我们所要继承的。

3、关于苏格拉底方法

“提问可以有助于揭露每一步的考虑”，苏格拉底的方法是通过教师的不断提问，帮助学生逐渐得到知识，这个过程，会让学生感到“所教的东西都是在上课的过程中产生的，而教师实质上只是一个助产士”，学生学习的过程真实且自然，是一个正在“发生”的现在进行时，“强调的是发生而非强加于人”。

苏格拉底的方法巩固了教师的权威作用，明确了教师的“助产”作用，即要引导学生如何再发现和再创造，而这一点也和弗氏的“有指导的再创造”观点契合，是要继承的。但也不必全盘继承，比如苏格拉底“不相信真正的知识是实际创造的”，而是“在人类生存以前，灵魂就已经具有了所有真正的知识”，这是否有唯心论倾向？也使科学蒙上了一层神秘色彩。这似乎否认了人类通过改造世界来获得知识本领的事实，也否认了包括数学在内的一切科学并非一成不变，而是随着历史进程的发展而发展变化的。在弗氏的另一本“数学教育再探”一书中，他提到“数学的根源普通常识”，来源于生活，又借助于人的生产生活不断发展扩充。数学作为普通常识，和其他科学一样都并无神秘性，只是作为一种研究客观世界的工具。

四、做数学，生兴趣，促能力

现在的学生感觉学业负担沉重的原因之一是他们认为要“记”的东西太多，并且花了时间去记住又很容易遗忘。的确，遗忘是人类学习的一大敌人，因为“遗忘在学习之后立即开始”。在学习中怎样与遗忘作斗争？也许可以通过“遗忘曲线”揭示的规律去找到相应方法，或者通过其他各种渠道所提供的方法，多数情况下，我们是通过强化复习，也就是多频率的再刺激来降低遗忘率，这也是现在我们的教学中经常采用的方法，尤其是在考试前夕，可是为什么不换个角度去改变呢？也就是在记忆形成的时候，就强化其深刻性，使所学的东西相对而言不易被遗忘。遗忘毕竟在记忆之后，深深地记，也许就能浅浅地忘。对于我们的教学而言，就是要在学生接受新知的时候，在他们的“白纸”上深深地留下印记。

怎样留下深刻的记忆？关于记忆，可以是“人脑经历过的事物，思考过的问题，体验过的情感和情绪，练习过的动作，都可以成为人们记忆的内容”，多种感官的参与无疑是增强记忆的好方法，夸美纽斯对感觉论也进行了高度评价，认为“知识的开端永远来自感官”，“感官是记忆的最可靠的仆役”，的确，对于教育教学者来说，一堂课若能调动学生的多种感官参与，对调动学生的学习兴趣，提高技能、发展各项能力都大有裨益。而将各种感官有机、和谐高效地调配起来，产生有质量的效益，个人认为这是否可以用“做”这个字来概括？我们自古就有“做学问”一说，“做”即是研究、发现和再创造，所以有些人通过“做”学问，成为了某一方面的专家。对于学生来说，虽然不必像专家那样深入地去“做”研究，得出某些深奥和前瞻性的结论，但是他们为什么不能经历像数学家那样发现真理的经过呢？至少那种探索未知的冒险精神、质疑现实的勇气乃至思考问题的习惯和方法是会令他们终生受益的。

学生“学一个活动的最好方法是做”，那么教师的任务就应该是创设出合适的、有效的氛围让学生去“做”，让学生“从感觉效应转到运动效应”的过渡能更自然些，就好像他们的思考和探索是发自内心的，在不知不觉中经历了一个学习的过程。这样，在教师恰当的指导下，学生进行发现和再创造，这就指向了弗氏的一个重要理念，那就是“有指导的再创造”。由此想起了弗氏在《数学教育再探》一书中曾经提到的一个有关数和集合的经典例子：大意是一群孩子坐在地板上，构成一个圆圈，然后一个个轮着报数，一圈、两圈……在一个七人组成的圈里，第一个报的是哪些数？哪一类数？第七个呢？第三个呢？谁得到了100？如果把这个数了无数圈的圈拉直——作为数轴，将上述那些报到的数标在数轴上，又会有什么发现？也许就是以后学习乘法和乘法表时的一个很好的例子……这真是一个极好的例子，类似于寓教于乐的意义，而且学习者可以动用很多感觉器官，乃至自己的身体，正如弗氏所说的“可以提供给学生最好的可感知材料是孩子的身体”。可是他也有些无奈地指出，“没见过如此自然的指导例子被应用过”。显然，这也是我们现今的教育教学者所欠缺，而要去追求的。

五、用再创造的观点审视数学教育的目的，发现数学的魅力

都说数学是与生活密切相关的，生活中离不开数学，可是我们的学生内心深处有这样的认同感吗？数学教育的目的究竟是什么？作者在第四章中写道“数学教育的目的很难确切地表达。”“数学有许多应用，很多学生将来必须用数学。如果我们能告诉每个学生，哪些数学概念与技能是他将来需要的，那倒是件好事。可事实没这么简单，而且恰恰相反。”这和之前所说的“数学教育最大的问题就是目的与用处之间的分歧”表达了相同的意思，学习数学的“好处”并不能立马显现，就如“儿童开始学习读和写的时候，也许并未意识到有什么目的”，而且“不能说每个读和写的练习都会使学生更靠近目标”，但目标并非是读这个或者写那个，“而是可以不受限制地读和写”，也就是说，学习读写是培养和锻炼一种能力，为的是日后更好地借助于读写这种工具与外界交流，有点“厚积薄发”的意思，那么数学学习的目的不也可以这样理解吗？！

值得注意的是，要防止数学教育的功利化倾向而狭隘地曲解数学教育的真正目的，比如“当时一个教师会认为培养学生解算术题是个永恒的事业，并为此而自豪”，学生也会认为学数学是为了将来有一份能糊口的工作，也许在当时拥有熟练的计算技能就可以借此谋生，但随着如今各类性能卓越的计算机的普及和大数据时代的到来，那样的事例只能成为笑谈。由此想到了时下如火如荼的“奥数班”，如果不是因为数学作为智力筛选的工具，人们急功近利的逐利心态，会有那么多幼小的儿童去接受远高于他们能力之外的、远离他们生活背景的难题的挑战吗？这会让他们失去学习兴趣的同时，对数学学习的目的有错误的评判，那就是学数学是为了考试。

传统的数学教育也涉及到数学的应用，但“不是从具体问题出发，再用数学方法进行研究，而是先学数学，将具体问题作为它的‘应用’”，就如课堂里老师讲完一个性质和定理后再辅以配套练习，学生依样画葫芦，效果杠杠的，即使有个别人不会做也没关系，老师会适时出现给予指导，总能把人给教会了。然后找些类似的应用题反复操练，最终学生就真能学会“应用”。这种美好的愿景给人的感觉就是生活中的实际问题都会自己对号入座找着了相应的原理和模型，然后再来找人解决的。如果真是那样，那倒还真是件好事儿，人类也就不用疲于研究和实验，仿佛上帝会指导着你该干什么和怎么办！

“由于数学应用的不切实际，人们对它产生了怀疑，因而在近年来的大扫除中，数学与现实的关系被当作垃圾抛弃了。”数学的演绎系统“更为纯洁、完美与至高无上”了，可是正因为“被体系所束缚”，所以导致数学和其他学科的关系被割裂了。在我们一般人的印象中，物理似乎与现实世界的联系更紧密些，从宇宙天体的研究到日常生活的小发明小制作，的确都离不开物理，可是这其中蕴含的数学知识又有多少人了解呢？前段时间参加的一次培训中，其中有一场是一个计算机方面的牛人博士介绍的数学和科技的故事，他自言小时候对数学学习也是很茫然和困惑的：学习数学的意义在哪里？在他之后的研究和工作中也似乎没有多少数学的影子，直至他了解到一个日本发明家用改变数学方程的方法使得电动小车能快速顺畅地沿轨道转弯，而他和伙伴们经过多次的材料和工艺的改进却远不能企及，由此他感慨道，真正成功的发明制作不仅依赖于先进的材料和工艺，更需要有蕴含其中的数学知识作支撑。他还向大家展示了一段国外高科技制作的视频，画面中那些高智能仪器能与人的动作完美匹配，令人啧啧称奇地同时也感受到了科技的神奇，或者准确地说，是建立在精确数学计算上的伟大发明！所以那场报告的主题就是“STEM框架下的数学”，而STEM就是“科学+技术+工程+数学”，数学的魅力可见一斑，说数学是其他科学研究的基础一点都不为过吧。所以正如弗赖登塔尔在书中所说的“建议不是数学与其他学科配合，而是围绕数学来综合，即以数学为核心学科，再吸收其他学科的题材，让学生将它作为是用数学来组织的领域”。

数学教育的终极目标是什么？未来将会怎样？弗赖登塔尔用他的思考著书立说，引发教育工作者对数学教育的再探，这不应是终点，因为对真理的追求过程本身也是一个不断“再创造”的过程。