画图策略在小学数学教学中的运用

许昌市光明路小学 白战德

 [摘 要]画图策略是小学数学教学中常用的一种解题策略，它通过图形把抽象问题具体化、直观化，达到使学生理解题意，正确解决问题的目的。因此，在解决问题的教学中，要重视引导学生运用画图的方法分析数量关系，解决问题，体会画图的作用和价值；鼓励学生探讨用不同的图形解决多种实际问题，体会到画图策略的多样性；引导学生领会画图策略中的数学思想，提升数学素养。

【关键词】画图策略 小学数学 运用

数学课程标准的课程目标中指出：“要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。”画图策略是众多解题策略中最基本，也是很重要的一个策略。从心理学角度讲，它符合小学生的认知发展，因为小学生的思维以具体形象思维为主，抽象思维水平不高，因此通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。因此，在教学中我们要充分发挥画图的价值和作用。

• 以“画”助记，解决教学的重点难点

用乘法分配律进行简便计算，一直都是教学重难点，为了有效突破，老师们真是八仙过海，各显神通。但是，始终有一部分学生既无法真正理解这一定律，也记不住定律的模式，更谈不上合理地运用。这时候，画一画也许能使学生茅塞顿开。

我们先来看看教材上的基本模型：ac+bc=(a+b)c

从情境图来看，可以得到以下算式：

按颜色上下分与合：3×10+5×10=(3+5)×10（如图）

按墙面左右分与合：4×8+6×8=(4+6)×8（如图）

 

可以看到，教材将抽象的定律与直观的长方形面积公式结合得天衣无缝，再基于组合图形面积计算的实际经验——两个小长方形面积之和等于大长方形面积，学生对于常见的题目，即分配公因数或提取公因数的题型就基本都能解决了。那么，较特殊的情况呢？

我们来看这道题目：125×88。

如图，我们可以将这个长方形分割成两种边长各异的小长方形，但是，学生从特殊数的运算特征来看就会发现，只有分成125×80和125×8这两个小长方形才是最简便的，从而得到简便计算的正确过程：125×88=125×(80+8)=125×80+125×8=10000+1000=11000。

教学时，我们可以遵照教材意图，结合长方形面积公式来帮助学生理解乘法分配律；练习时，也可以一边画图，一边做题，先将数转化为形，再用形来解释数，两者有效结合，促进学生知识的融会贯通。数缺形时少直观，形少数时难入微，画图能帮助教师突破教学困难，也能帮助学生找到解决问题的方向。同时，在比较图形数据特征的基础上，还能实现学生个人的算法最优化。

二、以“画”助讲，准确地分析数量关系

《长方体（二）》练习题：

学生选择了一种算法，即用纸箱的大体积去除以牙膏盒的小体积，从而求出能放多少盒，却很少有人去考虑第二种算法，也就是通过纸箱与牙膏盒棱长之间的倍数关系，得出可以放多少牙膏盒。

为了让学生对两种方法的合理性有深刻的比较和认识，我们将教材的数据做了简单的改动：

将纸箱尺寸改为540×10×10，请学生再次完成。（如图）

很快就有学生发现：虽然纸箱总体积不变，但纸箱的形状变得又细又长，无论怎样摆放，牙膏盒与纸箱之间都会有空隙，不能恰好摆满。师生共同尝试画出示意图后，全班学生都清晰地看到，只关注体积的大小而不关注形状，是不合理的。

在第一组数据下，虽然有直观的图形，部分学生的问题解决也只停留在数据的计算上面，就算教师讲解了这种算法可能出现的漏洞，一些学生也不以为然；在针对学情改动了数据之后，图形的变化一下子就将学生的关注重点拉到了形状上面，直观想象配合简单口算，所有人都理解了这种题目从棱长的关系来解决更合理，凸显了形状对于实际问题解决的重要性，避免了空洞的讲解。

进人高年段，在分数再认识的基础上，学生需要解决大量与分数意义及运算有关的问题，如果有图形的帮助，学生对各种量之间关系的把握会更清晰，难点更易突破，学习困难会有效降低。

这是五年级上期末整理复习时，学生完成的一道习题：

如果苹果质量的2/5等于梨子质量的3/4，那么苹果与梨子谁重？

对于一部分抽象思维能力较弱的学生而言，解决这个看似简单的问题也是很有难度的。让我们看看有些学生是怎样画图解决问题的。（如图）

析

简单的图形，将题目中原本抽象的两种量之问关系表达得一清二楚，在呈现关系的同时，也帮助学生理解了结果，如果再请画图的学生或看懂的学生稍加解释，相信困难会被轻松突破。新世纪小学数学教材非常鼓励学生画一画，我们也可以在自己的教学中，配合教材多给学生创造机会。

小学数学六年级下册“分数乘法”内容。让我们按照分数的相关意义，给学生示范如何画图来解决。

从图上可以看出，整支牙膏被平均分成了12份，前10天用了总量中的4份，后半月用了总量中的6份，也就是总量的一半。

图形既让我们避开了繁杂的计算，又将单位1不同的两个分数统一了标准，理清了关系，再用简洁清晰的步骤得出结果。这样的解题方式，学困生也是可以接受的。学生在尝到甜头后，就会慢慢主动尝试画图解决问题了。在完成此题时，教师也可 以比较学生作业中出现的线段图或其他一些可能呈现的方式，看看哪一种更适合体现本题中部分与整体问关系。

三、多样画图，体会画图策略的快乐

画图策略就是把问题呈现的信息通过图画的方式表示出来，通过直观形象的符号信息展示寻找问题答案的一种基本的解决问题的策略。画图的形式是多样的，除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图、集合图、统计图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图等。在教学中可引导学生根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。同时，鼓励学生大胆的提出自己的不同见解， 相互交流，分享各自的策略，使学生切身体验到数学的价值和趣味，激发学生好好学习数学和应用数学的兴趣和愿望。

巧用画图策略，可以帮助低年级学生解答古代的数学名题――鸡兔同笼问题。 “鸡兔同笼”是一个让很多学生学习起来感到头疼的问题，但是运用这个策略就能容易把问题解决。如：鸡兔同笼，有8个头，26条腿，鸡、兔各多少只？画图时，先引导学生把8个头全画上两只腿了或四只腿，发现少的或者多的那些腿是兔子或者鸡的，学生有了这一发现以后，通过添腿或减腿就能计算鸡或兔有多少只。 画法一：

第一步先画8个头：

第二步每个头画2条腿： 第三步剩下的10条腿可以分给5个头，每个头再添2条腿 由此可见：有4条腿的是兔子，2条腿的是鸡。 答案：5只兔子、3只鸡。 画法二：

第一步先画8个头：

第二步每个头画4条腿：

第三步把多画的6条腿分别划去，后面3个头，每个头减少2条腿

由此可见：有4条腿的是兔子，2条腿的是鸡。 答案：5只兔子、3只鸡。此题运用形象的图形表示了比较抽象的数量关系，为学生在实际问题到算式之间，在分析数量关系到解决问题之间铺了一座“桥”。

利用低年级学生喜欢画画，擅长画画的特点，让他们用自己喜爱的方式画图，原生态的图形，生动有趣，再现数量之间的关系，使数学与图形结合，以画促思，最终可以化复杂为简单，化抽象为直观，能更好地寻找问题的答案，同时，让他们在尝试中体会到用图解题的快乐，体念用画图法解题带来的成功感。

四、巧用“画图”，实现数形转换的数学思想

小学生的思维是不断地由具体的形象思维向抽象的逻辑思维过渡。“画图”实际上是对现实中数学问题不断抽象的过程，是一个不断“去情境化”的过程，它能够摒除非数学的因素而直观呈现数量关系。在运用画图帮助分析的过程中，将文字转化成图示，发现数量关系。使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，在提高学生学习兴趣的同时有效地提高学生分析问题和解决问题的能力。

解方程是五年级的一个重点知识，如何让学生理解并运用等式的基本性质来解方程呢?教学时，教师出示例题（如图）

请学生看图说出等量关系式。学生列式x+3=9，方程的左边是x个和3个,右边是9个。教师根据学生的回答画出天平图表示这个方程式。（如图）

学生通过观察发现，只要让天平的左边留下x，就能求出x的值。在天平的左右两边减去3个球，天平的左边就只剩下了x，即x=6。

将天平变化的过程用文字表述出来，则得到了解方程的过程。这样借助画图，学生清楚地理解了解方程的原理，学习效果特别好。

五年级上册分段计费这一个内容是教学的难点。学生由于对收费标准理解得不透彻，在解决相关的实际问题时总是出错。为此，教师先出示出租车白天的收费标准（如图）

然后引导学生在线段图上表示出收费标准（如图） 

清晰的三段计费映入眼帘，学生明白了0至2千米收费8元，2到13千米之间每千米收费2元，13千米以上每千米收费3元。于是学生借助线段图顺利地解决了6.5千米收费的问题。（如图）

   空间和图形问题是数学问题中比较抽象的内容。教师可以借助画图，帮助学生将文字转化成图像，顺利解决问题。如：一个长方形的长和宽各增加8厘米，这个长方形的面积就增加208平方厘米。求原来长方形的周长是多少厘米？ 教师可以引导学生画出图形。（如图）

 

学生便很快明白了：长增加8厘米时，增加的面积是宽×8；宽增加8厘米时，增加的面积是长×8；则宽×8+长×8=208，利用乘法分配律得出（长+宽）×8=208，从而得出（长+宽）×2=52（厘米）。                    

通过作图，将数与形巧妙地结合起来，直观地 反映数的内在联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速地解决问题，同时渗透数形结合思想、极限思想，使学生做到心中有图见数，有数见图，思维得以拓展。

总之，在小学数学教学中，运用画图策略解决实际问题，是适合小学生的年龄特征的一种教学手段，有助于帮助学生把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，有助于学生正确理解数量关系，提高解决问题的能力。因此，在解决问题的教学中教师应有意识地加强对画图策略的培养，增进学生的思考力、理解力以及创造力，提高灵活运用策略解决实际问题的能力。

参考文献：

⑴ 《义务教育数学课程标准（2011年版）》.北京师范大学出版社.2012.

 ⑵ 吴正宪，张丹.《小学数学》.华东师范大学出版社.2008.

⑶ 周玉仁.《从小学应用题教学的历史谈起》发表于《小学数学教师》.2006. ⑷ 吴正宪.《小学数学课堂教学策略》.北京师范大学出版社.2012.

⑸ 施献慧.《数形结合思想在数学解题中的应用》.云南教育 .2003.

⑹ 戴再平.《开放题——数学教学的新模式》.上海教育出版社.2004.

⑺周玉仁．“解决问题”纵横谈．《小学数学教育》.